Spline

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi

Gå til: navigasjon, søk
En spesiell type spline, bezier kurve

Spline betegnes i det matematisk feltet numerisk analyse som en spesialfunskjon definert stykkevis av polynomialer.

Innen data, databasert design og datagrafikk refereres spline til en delvis parametrisk polynomial kurve. Innen disse feltene er spline en populær måte å representere kurver på, på grunn av dens enkle konstruksjon, dog mulighet å gjennomføre komplekse designer ved kurvetilpassing.

Terminologien spline kommer fra utstyr brukt av skipsbyggere og tegnere for å tegne glatte og jevne former. Utstyret var et langt stivt bånd festet på forskjellige punkter for å gi en ønsket form.

Typer spline:

  • B-spline
  • Bezier kurve
  • Bezier spline
  • Hermite spline
  • Kubisk Spline
  • Naturlig spline
  • Periodisk spline

Innhold

[rediger] Definisjon

[rediger] Spline

Spline er en funksjon:

S(t):[a,b]\rightarrow \mathbb{R}

består stykkvis av polynomer:

P_{i}(t):[ t_i , t_{i+1}) \rightarrow \mathbb{R}

hvor

a = t_0 < t_1 < ... < t_{k-2} < t_{k-1} = b \mathbb{}

og vi får spline funksjonen

S(t)=\begin{cases} P_0(t) \quad &, \quad t_0 \leq t < t_1\\ P_1(t) \quad &, \quad t_1 \leq t < t_2\\ \quad ... &, \quad ...\\ P_{k-2}(t) \quad &, \quad t_{k-2} \leq t < t_{k-1} \end{cases}

[rediger] Skjøter

Alle de k skjøtene ti samles i en skjøtvektor

\vec{t} = (t_0, t_1, ..., t_{k-1})

Hvis avstanden mellom skjøtene er spredd jevnt i intervallet [a,b], sier vi at splinen er uniform, ellers ikke-uniform.

[rediger] Splinens grad

Hvis alle polynomene Pi har grad n, sier vi at splinen er av grad \leq n

[rediger] Glatthet C^{r_i} og glatthetsvektor

Hvis S(t)\in C^{r_i} befinner seg i nabolaget til ti, sies splinen å være av glatthet (minst) C^{r_i} ved ti. Dette betyr at de to delene {Pi − 1,P1} deler felles deriverte fra orden null (funksjonsverdi) og opp til orden ri.

Vektoren

\vec{r}= (r_1, r_2, ..., r_{k-2} )

er slik at splinen har glatthet C^{r_i} ved ti for 0 < i < k − 1 kalles en splinens glatthetsvektor.

[rediger] Eksempler

Anta at intervallet [a,b] er [0,3], og delintervallene er [0,1), [1,2), og [2,3]. Anta at de stykkvise polynomene er av grad 2, og stykkene [0,1) og [1,2) må møtes i verdi og 1.derivert. (her må de altså møtes ved t=1). Stykkene [1,2) og [2,3) møtes i verdi t=2 .

Dette definere en type spline S(t) hvor

S(t)=\begin{cases} P_0 (t) = -1+4t-t^2 &\mbox{ , } 0 \leq t < 1\\ P_1 (t) = 2t &\mbox{ , } 1 \leq t < 2\\ P_2 (t) = 2-t+t^2 &\mbox{ , } 2 \leq t \le 3 \end{cases}

vil være meldem av den typen, og

S(t)=\begin{cases} P_0 (t) = -2-2t^2 &\mbox{ , } 0 \le t < 1\\ P_1 (t) = 1-6t+t^2 &\mbox{ , } 1 \le t < 2\\ P_2 (t) = -1+t-2t^2 &\mbox{ , } 2 \le t \le 3 \end{cases}

vil også være medlem av typen.

(Polynomet 2t er fortsatt av andre grad fordi det kan skrives 0 + 2t + 0t2)

Skjøtvektoren til denne typen av spline er her

\vec{t} = (0, 1, 2, 3)

Den enkleste splinen har grad 0, og den er en stegfunksjon.

Den nest enkleste splinen har grad 1, og er også kalt en lineær spline.

En valnig brukt spline er den naturlige kubiske spline som har grad 3 og kontinuitet C2. Naturlig betyr i denne sammenhengen at splinen velges slik at den andrederiverte av splinepolynomene er null på endepunktene av interpoleringens intervall

S''(a) \, = S''(b) = 0.

Dette tvinger splinen til å være en rett linje utenfor intervallet og at kurven alle steder er glatt.

Hentet fra «http://no.wikipedia.org/wiki/Spline»
Personlige verktøy
Opprett en bok