σ-algebra

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
(Omdirigert fra Sigma-algebra)
Gå til: navigasjon, søk

En familie \mathcal{A} av delmengder av mengden X kalles en sigma-algebra dersom

  1. \mathcal{A} er ikke tom. (Det finnes minst en delmengde A \in \mathcal{A}.)
  2. Lukket under komplement: Hvis A er med i \mathcal{A} så er komplementet A^{c}=X \setminus A også være med i \mathcal{A}
  3. Lukket under tellbare unioner: Hvis (A_n)_{n=1}^{\infty} er en samling av mengder i \mathcal{A} er også unionen \cup_{n=1}^{\infty} A_n med i \mathcal{A}

Det følger at \emptyset og X er med i \mathcal{A}:
Tar vi en vilkårlig mengde A i \mathcal{A} (som finnes, ved egenskap 1) har vi at komplementet A^c er i \mathcal{A} ved egenskap 2, og ved egenskap 3 får vi at da må unionen A \cup A^c = X og dens komplement \emptyset være i \mathcal{A}.

Eksempel[rediger | rediger kilde]

Den enkleste \sigma-algebraen på en gitt mengde X er den trivielle: \mathcal{A}=\{\emptyset, X, A, A^c\}, for en delmengde A av X. Går vi til den andre enden av skalaen er den største \sigma-algebraen på en gitt mengde samlingen av alle delmengder av X, \mathcal{P}(X).

La X={1,2,3,4,5,....} være mengden \mathbb{N} av alle naturlige tall, og la familien \mathcal{A} bestå av de 4 delmengdene \emptyset, {1,3,5,....} (alle oddetall) {2,4,6,...} (alle partall) samt X selv. \mathcal{A} er da en sigma-algebra.

En svært viktig \sigma-algebra er Borel \sigma-algebraen. Denne definerer vi som \sigma-algebraen generert av alle de åpne mengdene på en mengde X. Dersom vi betrakter de reelle tallene vil da de åpne mengdene være åpne intervaller, og dermed kan vi skrive \mathcal{B}=\sigma((a,b)). Ved egenskapene 2 og 3 kan vi vise at også de lukkede mengdene, de halvåpne mengdene og åpne og lukkede stråler genererer Borel \sigma-algebraen. Igjen for de reelle tallene får vi da at Borel \sigma-algebraen også er generert av [a,b],[a,b),(a,\infty) og [a,\infty).

Referanser[rediger | rediger kilde]

Bartle, Robert G: The Elements og Integration and Lebesque Measure. Wiley Classics Library