Schrödingerligningen

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk

Schrödinger-ligningen er den ligningen som beskriver hvordan kvantemekaniske systemer utvikler seg med tiden. Den ble først stilt opp i 1926 av den østerrikske fysikeren Erwin Schrödinger basert på betraktninger fra klassisk mekanikk. Bakgrunnen for dette var forslaget til den franske fysiker Louis de Broglie to år tidligere om at partikler kunne tilordnes bølgeegenskaper. Ligningen var derfor en konkret realisasjon av denne ideen og beskriver det som ofte blir kalt materiebølger. Kort tid etterpå viste Schrödinger selv at den ga riktige verdier for spektrumet til hydrogenatomet. Snart viste det seg at den kunne med stor suksess brukes også til å beskrive mer kompliserte atomer og molekyler.

Dette representerte begynnelsen på kvantemekanikken som dermed også ble kalt for bølgememanikk beskrevet ved Schrödinger-ligningen. Samtidig med at denne ble tatt i bruk, hadde den tyske fysiker Werner Heisenberg gitt en alternativ beskrivelse av kvantemekaniske fenomen hvor de klassiske variable ble erstattet med ikke-kommuterende operatorer. Det ble fort klart at denne beskrivelsen var ekvivalent med beskrivelsen til Schrödinger. Da operatorene til Heisenberg kunne representeres som matriser, kalles denne formuleringen ofte for matrisemekanikk. En mer abstrakt formulering ble etter kort tid gitt av den engelske fysiker Paul Dirac som forente på en elegant måte beskrivelsene til Schrödinger og Heisenberg.

I sitt opprinnelig arbeid fokuserte Schrödinger på bølgeligningen for en partikkel. For at denne skulle gi en riktig beskrivelse av hydrogenatomet, måtte partikkelen bevege seg ikke-relativistisk. Det ble raskt klart at man kan også stille opp en Schrödinger-ligning for mange ikke-relativistiske partikler som vekselvirker. Spesielt etter arbeiden til Dirac ble det klart at formen på den opprinnelige ligningen er generelt gyldig for alle kvantemekaniske systemer, også for relativistiske partikler og kvantefelt. Men selv om formen alltid er den samme, er inneholdet av ligningen vidt forskjellig i de forskjellige situasjoner.

Bølgefunksjonen Ψ = Ψ(x,t) til Schrödinger er i alminnelighet et komplekst tall. Den er en abstrakt størrelse som gir informasjom om hvor en partikkel finnes. Mer nøyaktig, Ψ*Ψ er sannsynligeten for å finne partikkelen ved et bestemt sted og ved et bestemt tidspunkt som foreslått av den tyske fysiker Max Born kort tid etter at Schrödinger fremla sin teori.

For en ikke-relativistisk partikkel med masse m som beveger seg i et potensial V = V(x,t) , er denne sannsynlighetsbølgen styrt av Schrödinger-ligningen

  i\hbar{\part\over\part t} \Psi(\mathbf{x},t) = \Big[ -{\hbar^2\over 2m}\boldsymbol{\nabla}^2 + V(\mathbf{x},t) \Big] \Psi(\mathbf{x},t)

Her er den reduserte Plancks konstant ħ = h/2π  og i er den imaginære enhet. Ligningen er en lineær, partiell differensialligning. Men i motsetning til vanlige bølgeligninger som er av 2. orden i tiden, er denne av 1. orden i tiden. På høyre side av ligningen opptrer Hamilton-operatoren for partikkelen som beskrives. Denne operatoren \hat{H} ser forskjellig ut avhengig av hvor mange partikler som inngår i systemet, hvordan de vekselvirker eller hvilke variable som beskriver systemet. Men alltid har Schrödinger-ligningen den samme formen

 i\hbar{\part\over\part t} \Psi = \hat{H} \Psi

hvor Ψ er en generalisert bølgefunksjon avhengig av de variable som inngår i Hamilton-operatoren. Denne funksjonen vil i det mer generelle tilfellet ikke lenger være en enkelt bølge, men må heller kalles en kompleks sannsynlighetsamplitude der Ψ*Ψ gir sannsynligheten for å observere systemet i en tilstand med bestemte egenskaper.

Bølgefunksjoner og operatorer[rediger | rediger kilde]

Schrödinger-ligningen kan ikke utledes fra klassisk fysikk eller mer kjente, fundamentale lover. Den beskriver noe helt nytt som tilhører en mikroskopisk verden som vi i utgangspunktet har vanskeligheter med å fatte og gjøre forståelig. Det er på samme måte som i klassisk mekanikk hvor alt kan forklares ved mekaniske lover som oppstår fra et fundamentalt virkningsprinsipp. Hvor dette kom fra, visste man opprinnelig ikke. Men i dag vet vi at dette er en konsekvens av den underliggende kvantemekanikken hvor Schrödinger-ligningen danner fundamentet.

Men man kan sannsynliggjøre formen på Schrödinger-ligningen ved betraktninger basert på klassisk fysikk. Det enkleste er å første betrakte en fri partikkel med masse m og impuls p har energi E = p2/2m . Impulsen p er konstant for en fri partikkel. Inspirerert av dualiteten til lys som noen ganger kan beskrives som bølger og noen ganger som partikler, foreslo de Broglie at kanskje kunne en materiell partikkel som et elektron beskrives som en bølge. Som for et foton skulle den ha en frekvens gitt ved ν = E/h  hvor h er Plancks konstant. Denne sammenhengen var først foreslått av Einstein i hans forklaring av den fotoelektriske effekt. Likedan skulle partikkelen ha en bølgelengde λ = h/p som også gjelder for fotonet. Den matematiske formen på bølgen må da være

 \Psi(\mathbf{x},t) \propto e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{x} - \omega t)}

hvor k = 2π/λ  er det vanlige bølgetallet og ω = 2πν er vinkelfrekvensen. Men denne amplituden kan man nå likså godt utrykke ved partikkelens egenskaper,

 \Psi(\mathbf{x},t) \propto  e^{i(\mathbf{p}\cdot\mathbf{x} - Et)/\hbar}

Dette er da materiebølgen for en fri partikkel som de Broglie og Schrödinger først tenkte seg. Den har kanskje den litt overraskende egenskapen at den har en utbredelseshastighet u = E/p som er forskjellig fra partikkelens hastighet v = p/m .

Bølgefunksjonen inneholder nå informasjon om partikkelens impuls og energi. For eksempel, ved å bruke nabla-operatoren kan man definere en impulsoperator

 \hat{\mathbf{p}} = -i\hbar\boldsymbol{\nabla} =  - i\hbar{\part\over\part\mathbf{x}}

slik at den har egenskapen \hat{\mathbf{p}}\Psi = \mathbf{p}\Psi . Den gir partikkelens impuls multiplisert med samme bølgefunksjon. Man sier at bølgefunksjonen i dette tilfellet er en egenfunksjon for impulsen. På samme måte vil operatoren iħ∂ /∂ t gi energien E til partikkelen.

Partikkel i ytre potensial[rediger | rediger kilde]

For å finne Schrödingers ligning for en partikkel som beveger seg i et ytre potensial slik at den har en potensiell energi V = V(x) , kan man gå ut fra Hamilton-funksjonen

 H(\mathbf{x},\mathbf{p}) = {\mathbf{p}^2\over 2m} + V(\mathbf{x})

Den gir Hamiltons ligninger som beskriver den klassiske bevegelsen. I dette tilfellet er Hamilton-funksjonen uavhengig av tiden og partikkelen i potensialet har derfor en konstant energi E.

I den kvantemekansike bølgebeskrivelsen er partikkelens bevegelse styrt av Hamilton-operatoren. Den finnes fra den klassiske Hamilton-funksjonen ved å erstatte den klassiske impulsen  \mathbf{p} med impulsoperatoren  \hat{\mathbf{p}} . Det gir Hamilton-operatoren

 \hat{H} = -{\hbar^2\over 2m}\boldsymbol{\nabla}^2 + V(\mathbf{x})

Når denne nå virker på bølgefunksjonen, skal den gi energien E til partikkelen. Bølgefunksjonen skal altså være en egenfunksjon for energien. Mer presist betyr det matematisk at  \hat{H} \Psi = E \Psi som skrevet ut gir

 \Big[ -{\hbar^2\over 2m}\boldsymbol{\nabla}^2 + V(\mathbf{x}) \Big] \Psi(\mathbf{x},t) = E \Psi(\mathbf{x},t)

Dette kalles den stasjonære Schrödinger-ligningen . Da energien for partikkelen er konstant, er tidsavhengigheten i bølgefunksjonen den samme som for den frie partikkelen. Man ser da at denne ligningen er akkurat den som er gitt i innledningen. Men avhengigheten av koordinaten x er nå mer komplisert og må finnes ved å eksplisitt løse denne differensialligningen. Det viser seg at det kun lar seg gjøre når energien E tar bestemte, ofte diskrete verdier. Denne matematiske egenskapen ga dermed en mer generell kvantisering av et system med partikler enn reglene til Bohr og Sommerfeld.

I det generelle tilfellet at potensialet V = V(x,t)  varierer med tiden, er ikke Hamilton-funksjon for partikkelen lenger konstant. Den har derfor heller ikke noen bestemt energi. Tidsavhengigheten i bølgefunksjonen Ψ(x,t) er derfor heller ikke lenger som for en fri partikkel. Den stasjonære Schrödinger-ligningen er ikke lenger gyldig. Tidsavhengigheten til bølgefunksjonen må nå beregnes fra den generelle ligningen gitt i innledningen. Denne generelle Schrödinger-ligningen kan ikke lenger utledes, men er et kvantemekanisk postulat. Denne stemmer med alle observasjoner og mest nøyaktige eksperiment.

Mange partikler[rediger | rediger kilde]

At bølgefunksjonen ikke beskriver en vanlig bølge i vårt rom, blir mer tydelig hvis man betrakter et system av N ikke-relativistiske partikler av samme type. Hvis de har en gjendig, potensiell vekselvirkningsenergi på den mest generelle form V = V(x1, x2, ..., xN,t) . Bølgefunksjonen Ψ = Ψ(x1, x2, ..., xN,t)  vil nå avhenge av koordinatene til alle partiklene og beskriver ikke noen enkel bølge lenger. Den kan beregnes fra en mer komplisert Schrödinger-ligning som igjen kan finnes ved å gå ut fra den klassiske Hamilton-funksjonen

 H = {1\over 2m}\sum_{n=1}^N \mathbf{p}_n^2 + V(\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2,\dots, \mathbf{x}_N,t)

til systemet. Den tilsvarende Hamilton-operatoren utledes nå ved å la \mathbf{p}_n \rightarrow -i\hbar\boldsymbol{\nabla}_n . Det gir Schrödinger-ligningen

  i\hbar{\part\over\part t} \Psi(\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2,\dots, \mathbf{x}_N,t)  = \Big[- {\hbar^2\over 2m}\sum_{n=1}^N \boldsymbol{\nabla}_n^2 + V(\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2,\dots, \mathbf{x}_N,t)\Big] \Psi(\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2,\dots, \mathbf{x}_N,t)

Det er slike ligninger som må løses for å beregne energien til elektronene i et atom eller egenskapene til en atomkjerne hvor protoner og nøytroner er sterkt bundet sammen. Matematisk er dette et vanskelig problem og kan vanligvis kun gjøres ved bruk av forskjellige approksimasjoner.

I det spesielle tilfellet at den potensielle energien kan skrives som en sum

 V(\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2,\dots, \mathbf{x}_N)  = \sum_{n=1}^N U(\mathbf{x}_n)\, ,

kan løsningen av Schrödinger-ligningen for en partikkel gi bølgefunksjonen for alle partiklene. Dette tilsvarer at partiklene beveger seg i et felles, ytre potensial U = U(x) uten gjensidig vekselvirkning.

Klassisk grense[rediger | rediger kilde]

Schrödinger konstruerte sin bølgeligning ved å ta utgangspunkt i den klassiske Hamilton-Jacobi-ligningen. For en ikke-relativistsik partikkel i et ytre potensial V = V(x,t) , er denne

 {1\over 2m} (\boldsymbol{\nabla}S)^2 + V(\mathbf{x},t)  + {\part S\over\part t} = 0

hvor S = S(x,t) er Hamiltons prinsipale funksjon, også kalt klassisk virkning. Impulsen til partikkelen p = ∇ S står normalt på flaten S = konst. Disse flatene definert av virkningsfunksjonen S = S(x,t), kan derfor i noen henseende betraktes som bevegelige bølgefronter. For en fri partikkel med impuls p og energi E er også S = px - Et som akkurat er fasefunksjonen for en plan bølge med fasehastighet u = E/p.

Med dette utgangspunktet tenkte Schrödinger seg at bølgefunksjonen for en partikkel i et potensial kunne skrives på formen

 \Psi(\mathbf{x},t) = A(\mathbf{x},t) e^{iS(\mathbf{x},t)/\hbar}

hvor A= A(x,t)  er en ukjent funksjon, mens S = S(x,t) er den klassiske virkningen. I eksponenten må vi dividere den med Plancks konstant da den har samme dimensjon som virkningen. Denne konstanten kalles også derfor noen ganger for virkningskvantet. I grensen hvor dette går mot null, skal alle kvanteeffekter forsvinne og klassisk fysikk være gyldig. Oppgaven til Schrödinger var da å finne en bølgeligning som ga Hamilton-Jacobi-ligningen i denne grensen h → 0 .

Vil man verifisere at hans tidsavhengige bølgeligning oppfyller dette kravet, må man først beregne den tidsderiverte

 i\hbar{\part\over\part t} \Psi = \left[i\hbar{\part A\over\part t}  - A{\part S\over\part t}\right] e^{iS/\hbar}

og deretter den dobbelte, romlige deriverte

 \hbar^2 \boldsymbol{\nabla}^2\Psi  = \left[\hbar^2 \boldsymbol{\nabla}^2A - A(\boldsymbol{\nabla}S)^2
       + 2i\hbar(\boldsymbol{\nabla}A)\cdot(\boldsymbol{\nabla}S) + i\hbar A\boldsymbol{\nabla}^2S\right]e^{iS/\hbar}

Settes nå dette inn i den tidsavhengige Schrödinger-ligningen, og man beholder kun de leddene som er uavhengige av Plancks konstant, ser man at man står igjen med akkurat Hamilton-Jacobi-ligningen.

Det er interessant at Schrödinger tok aller først utgangspunkt i Hamilton-Jacobi-ligningen for en relativistisk partikkel. Det ga han på samme måte en relativistisk bølgeligning som i dag kalles for Klein-Gordon-ligningen. Men den forkastet han da den ikke ga riktig verdier for energinivåene til elektronet i hydrogenatomet. Men det er ingen feil med denne bølgeligningen. Grunnen er bare at i en relativistisk beskrivelse av elektronet må man også ta hensyn til at det har et spin. Kombinasjonene av disse to effektene ble først gjort et par år senere av Dirac og matematisk formulert i Dirac-ligningen.

Se også[rediger | rediger kilde]

Litteratur[rediger | rediger kilde]

  • P. C. Hemmer, Kvantemekanikk, Tapir akademiske forlag, Trondheim (2005).
  • D. J. Griffiths, Quantum Mechanics, Pearson Education International, England (2005).