Roterende referansesystem

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk

Et roterende referansesystem er et koordinatsystem som roterer relativt til et treghetssystem. Et dagligdags eksempel på et roterende referansesystem er overflaten på jorden.

Fiktive krefter[rediger | rediger kilde]

Alle ikke-treghetssystemer innehar fiktive krefter. Roterende referansesystemer karakteriseres av tre fiktive krefter:

og for ikke-uniforme roterende referansesystem

Forskere på et slikt roterende referansesystem kan måle farten og retningen til rotasjonen sin ved å måle disse fiktive kreftene. For eksempel kunne Léon Foucault vise corioliskraften som kommer av jordrotasjonen ved å bruke Foucaults pendel. Dersom jorden plutselig begynte å rotere tusen ganger raskere (slik at hver dag bare ble ca. 86 sekunder lang), ville folk lett ha merket de fiktive kreftene som drar i dem, akkurat som på en roterende karusell.

Forhold mellom posisjoner i to referansesystem[rediger | rediger kilde]

For å utlede disse fiktive kreftene er det lurt å kunne transformere ligningene mellom koordinatene \left( x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime} \right) i det roterende referansesystemet og koordinatene \left( x, y, z \right) i et treghetssystem med samme opphav. Dersom rotasjonen er om z-aksen med vinkelfarten \omega og de to referansesystemene samsvarer ved tiden t=0, så kan transformasjonen fra de roterende koordinatene til treghetskoordinatene skrives:

x = x^{\prime}\ \cos\omega t + y^{\prime}\ \sin\omega t
y = y^{\prime}\ \cos\omega t - x^{\prime}\ \sin\omega t

og den reverse transformasjonen er

x^{\prime} = x\ \cos\left(-\omega t\right) - y\ \sin\left( -\omega t \right)
y^{\prime} = y\ \cos\left( -\omega t \right) + x\ \sin\left( -\omega t \right)

Dette resultatet får man ved å bruke en roasjonsmatrise.

Generell utledning i et roterende referansesystem[rediger | rediger kilde]

Dersom man har enhetsvektorene i, j, k til å representere de tredimensjonale vektorene, kan vi la disse rotere fordi de vil bli værende normalisert. Dersom vi lar de rotere med farten  \omega så blir hver enhetsvektor styrt av ligningen:

 \frac{dl}{dt}=\omega \times l,

der  l=\{i,j,k\} . Så om vi da har en funksjon ,  f(t)=f_x(t) i+f_y(t) j+f_z(t) k og vi vil utforske den førstederiverte, har vi:

\frac{df}{dt}=\frac{df_x}{dt}i+\frac{di}{dt}f_x+\frac{df_y}{dt}j+\frac{dj}{dt}f_y+\frac{df_z}{dt}k+\frac{dk}{dt}f_z
\frac{df}{dt}=\frac{df_x}{dt}i+\frac{df_y}{dt}j+\frac{df_z}{dt}k+[\omega \times (f_x i + f_y j+f_z k)]
\frac{\delta f}{\delta t}+\omega\times f(t)

Der \frac{\delta}{\delta t} er endringsraten med hensyn på det roterende koordinatsystemet. Det vil si at dersom f(t) roterer med samme fart som enhetsvektorene (\omega) så er \frac{\delta f}{\delta t}=0.

Forhold mellom raskhet i de to referansesystemene[rediger | rediger kilde]

Raskheten til et legeme er den tidsderiverte av posisjonen til lekamet eller

\mathbf{v} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\   \frac{d\mathbf{r}}{dt}

Den tidsderiverte til posisjonen i et roterende referansesystem har to komponenter, en fra den tidsderiverte i treghetssystemet, og en annen fra sin egen rotasjon. Forholdet mellom disse har mani ligningen

 
\left( \frac{d}{dt} \right)_{\mathrm{treghet}} = 
\left( \frac{d}{dt} \right)_{\mathrm{roterende}} + 
\boldsymbol\omega \times

der vektoren \boldsymbol\omega peker i samme retning som rotasjonsaksen med samme størrelse som vinkelfarten. Derfor er forholdet mellom raskheten i de to referansesystema:

 
\mathbf{v}_{\mathrm{treghet}} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\   \left( \frac{d\mathbf{r}}{dt} \right)_{\mathrm{treghet}} = 
\left( \frac{d\mathbf{r}}{dt} \right)_{\mathrm{roterende}} + 
\boldsymbol\omega \times \mathbf{r} = 
\mathbf{v}_{\mathrm{roterende}} + \boldsymbol\omega \times \mathbf{r}

Bevis for ligningen[rediger | rediger kilde]

La oss tenke oss en vektor atreghet i treghetssystemet, og aroterende er den samme vektoren i det roterende referansesystemet. Pt er posisjonen til vektoren a ved tiden t i treghetssystemet, Q er et punkt som har samme startposisjon som P0 (Q0 = P0) og roterer i forhold til treghetssystemet som om det var stasjonært på det roterende systemet. .

Etter svært kort tid δ t, har vi at vektoren Q0 Qδ t er

\boldsymbol\omega \times \mathbf {a}_{\mathrm{treghet}} \cdot \delta t

ved å bruke noen enkle vektoroperasjoner har vi

\overline{P_0 P_{\delta t}} = \mathbf{a}_{\mathrm{treghet}} = \overline{P_0 Q_{\delta t}} + \overline{Q_{\delta t} P_{\delta t}} = \overline{Q_0 Q_{\delta t}} + \overline{Q_{\delta t} P_{\delta t}} = \boldsymbol\omega  \times \mathbf{a}_{\mathrm{treghet}} \cdot \delta t + \mathbf{a}_{\mathrm{rotasjon}}

deriverer vi på tid får vi

\mathbf{\dot a}_{\mathrm{treghet}} = \boldsymbol \omega \times \mathbf{a}_{\mathrm{treghet}} + \mathbf{\dot a}_{\mathrm{rotasjon}}

og ser at

\boldsymbol \omega \times \mathbf{a}_{\mathrm{rotasjon}} = \boldsymbol \omega \times \mathbf{a}_{\mathrm{treghet}}

Forhold mellom akselerasjon i de to systemene[rediger | rediger kilde]

Akselerasjon er den andre tidsderiverte av posisjon, eller den første tidsderiverte av raskhet

 
\mathbf{a}_{\mathrm{treghet}} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\   
\left( \frac{d^{2}\mathbf{r}}{dt^{2}}\right)_{\mathrm{treghet}} = 
\left( \frac{d\mathbf{v}}{dt} \right)_{\mathrm{treghet}} = 
\left[  \left( \frac{d}{dt} \right)_{\mathrm{rotasjon}} + 
\boldsymbol\omega \times 
\right]
\left[
\left( \frac{d\mathbf{r}}{dt} \right)_{\mathrm{rotasjon}} + 
\boldsymbol\omega \times \mathbf{r} 
\right]

Ved å utføre deriveringen og omarrangere noen av leddene får man akselerasjonen i det roterende referansesystemet

 
\mathbf{a}_{\mathrm{rotasjon}} = 
\mathbf{a}_{\mathrm{treghet}} - 
2 \boldsymbol\omega \times \mathbf{v}_{\mathrm{rotasjon}} - 
\boldsymbol\omega \times (\boldsymbol\omega \times \mathbf{r}) - 
\frac{d\boldsymbol\omega}{dt} \times \mathbf{r}

der \mathbf{a}_{\mathrm{rotasjon}} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\   \left( \frac{d^{2}\mathbf{r}}{dt^{2}} \right)_{\mathrm{rotasjon}} er den tilsynelatende akselerasjonen i det roterende referansesystemet.

De tre leddene på høyre side kommer av de fiktive kreftene i et roterende referansesystem. Ved å bruke Newton sin andre bevegelseslov F=ma, får vi


\mathbf{F}_{\mathrm{Coriolis}} = 
-2m \boldsymbol\omega \times \mathbf{v}_{\mathrm{rotasjon}}

\mathbf{F}_{\mathrm{sentrifugal}} = 
-m\boldsymbol\omega \times (\boldsymbol\omega \times \mathbf{r})

\mathbf{F}_{\mathrm{Euler}} = 
-m\frac{d\boldsymbol\omega}{dt} \times \mathbf{r}

der m er massen til legemet disse tre fiktive kreftene virker på.

Treghetsakslerasjonen \mathbf{a}_{\mathrm{tregleik}} kan man finne ut fra den totale fysiske kraften \mathbf{F}_{\mathrm{tot}} (for eksempel den totale kraften fra fysiske vekselvirkninger som elektromagnetisme) og bruke Newton sin andre bevegelseslov.


\mathbf{F}_{\mathrm{tot}} = m \mathbf{a}_{\mathrm{inertial}}