Omvendt funksjonsteorem

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk

I matematikk, spesielt i kalkulus, så gir omvendt funksjonsteorem betingelser for når en funksjon har en lokal invers. Teoremet gir også en formel for den deriverte til den omvendte funksjonen.

Formulering av teoremet[rediger | rediger kilde]

Teoremet finnes i to versjoner, én i en-variabel kalkulus, og en i fler-variabel kalkulus. For funksjoner med én variabel sier teoremet følgende: Anta at f er en kontinuerlig funksjon med kontinuerlige deriverte, og at f^\prime(a) \neq 0 i et punkt a. Da finnes en omegn U om a slik at f restringert til U er injektiv, og slik at om V=f(U) er verdimengden til f, så er den omvendte funksjonen g:V \to U kontinuerlig deriverbar, og tilfredsstiller

\bigl(f^{-1}\bigr)'(b) = \frac{1}{f'(a)}.

For funksjoner av flere variabler er påstanden helt analog. Den er som følger: Anta at U \subseteq \mathbb{R}^n er en åpen mengde og at \mathbf{F}:U \to \mathbb{R}^m har kontinuerlige partiellderiverte. Anta at \bar{x} \in U og at Jacobi-matrisen \mathbf{F}^\prime(\bar{x}) er inverterbar. Da finnes en åpen omegn U_0 \subset U om \bar{x} slik at \mathbf{F} restringert til U_0 er injektiv. Verdimengden V til denne restriksjonen er en omegn om \bar{y}=\mathbf{F}(\bar{u}), og den omvendte funksjonen \mathbf{G}:V \to U_0 er deriverbar i \bar{y} med Jacobi-matrise

\mathbf{G}^\prime(\bar{y}) = \mathbf{F}^\prime(\bar{x})^{-1}.

Eksempel[rediger | rediger kilde]

Vi tar et eksempel med en funksjon med to variable. La \mathbf{F}:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 være definert ved \mathbf{F}(x,y)=(x^4-y^4,xy). Vi skal undersøke om funksjonen er inverterbar nær punktet (1,0). Jacobi-matrisen gitt ved

 \mathbf{F}^\prime(x,y) = \begin{pmatrix}4x^3 & 4y^3 \\ y & x \end{pmatrix}.

Dermed er Jacobi-determinanten gitt ved \det \mathbf{F}^\prime(x,y) = 4x^4-4y^4. Setter vi inn for (1,0), får vi at determinanten er ikke-null. Det følger da fra teoremet at det finnes en omegn om (1,0) slik at funksjonen er lokalt inverterbar. Den deriverte til den omvendte funksjonen er gitt ved \mathbf{F}^\prime(1,0)^{-1}, som er

\mathbf{F}^\prime(1,0)^{-1} = \begin{pmatrix} \frac 14 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.

Dette viser at funksjonen har en lokal invers, men den har ingen global invers. Spesielt er funksjoner som har en global invers injektive, noe denne funksjonen ikke er. For å se dette, legg merke til at om (a,b) \neq (0,0), så er \mathbf{F}(a,b) = \mathbf{F}(-a,-b), så funksjonen kan ikke være injektiv.

Referanser[rediger | rediger kilde]

  • Lindstrøm, Tom og Hveberg, Klara (2011). Flervariabel analyse med lineær algebra. Harlow: Pearson Education Limited. ISBN 978-0-273-73813-8.