Maxwells likninger

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk

Maxwells likninger er fire likninger, samlet av James Clerk Maxwell i 1865, som er grunnlaget for all klassisk elektromagnetisme. De beskriver og forklarer sammenhengen mellom elektriske- og magnetiske felter og hvordan disse forholder seg til materie.

Maxwells fire likninger er

Maxwells likninger har som konsekvens at lys er elektromagnetiske bølger som beveger seg med konstant fart (lysfarten). Likningene er Lorentz-invariante og kompatible med både spesiell- og generell relativitetsteori. På atomnivå gjelder ikke likningene lenger og de må erstattes med kvanteelektrodynamikk.


Matematisk formulering[rediger | rediger kilde]

Matematisk sett er Maxwells likninger partielle differensiallikninger og kan skrives både på differensialform og integralform. I tillegg til de fire likningene trengs også to materiallover som er spesifikke for materialene en studerer.

Navn Differensialform Integralform
Gauss' lov \nabla \cdot \mathbf{D} = \rho \oint_S  \mathbf{D} \cdot d\mathbf{A} = \int_V \rho dV
Gauss' lov for magnetisme
(fravær av magnetiske monopoler)
\nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \oint_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A} = 0
Faradays induksjonslov \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t} \oint_C \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = - \ { d \over dt }   \int_S   \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A}
Ampères lov
(med Maxwells tillegg)
\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t} \oint_C \mathbf{H} \cdot d\mathbf{l} = \int_S \mathbf{J} \cdot d \mathbf{A} +
{d \over dt} \int_S \mathbf{D} \cdot d \mathbf{A}

hvor betydningen av hvert symbol i SI-enheter er i tabellen under:

Symbol Mening SI-enhet
\mathbf{E} elektrisk felt
også kalt elektrisk feltstyrke
volt per meter
\mathbf{H} magnetisk felt
også kalt magnetisk feltstyrke
ampere per meter
\mathbf{D} dielektrisk forskyvning
også kalt elektrisk flukstetthet
coulomb per kvadratmeter
\mathbf{B} magnetisk flukstetthet
også kalt magnetisk induksjon
også kalt magnetisk felt
tesla, eller ekvivalent,
weber per kvadratmeter
\ \rho \ fri elektrisk ladningstetthet,
ikke inkludert dipollading bundet i et materiale
coulomb per kubikkmeter
\mathbf{J} fri strømtetthet,
ikke inkludert polarisasjon eller magnetiseringsstrømmer bundet i et materiale
ampere per kvadratmeter
d\mathbf{A} differensielt vektorelement av overflateareal A, med infinitdesimal
liten størrelse og retning normal til overflate S
kvadratmeter
 dV \  differensialelement av volum V innesluttet av overflate S kubikkmeter
 d \mathbf{l} differensialelement av vektor med kurvelengde tangensielt til kurven C som inneslutter overflate S meter
\nabla \cdot divergensoperator per meter
\nabla \times rotasjonsoperator per meter


Materiallover[rediger | rediger kilde]

Maxwells likninger kan ikke løses uten to tilleggsbetingelser som beskriver materialet. Disse kommer i form av polarisasjonstetthet P (måles i coulomb per kvadratmeter) og magnetiseringstetthet M (måles i ampere per meter).

 \mathbf{P} = \chi_e \varepsilon_0 \mathbf{E}
 \mathbf{M} = \chi_m \mathbf{H}

D- og B-feltene er relatert til E og H ved

\mathbf{D} \ \ = \ \ \varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P} \ \ = \ \ (1 + \chi_e) \varepsilon_0 \mathbf{E} \ \ 
= \ \ \varepsilon \mathbf{E}
\mathbf{B} \ \ = \ \ \mu_0 ( \mathbf{H} + \mathbf{M} ) \ \ = \ \ (1 + \chi_m) \mu_0 \mathbf{H} \ \ 
= \ \ \mu \mathbf{H}

hvor

 \chi_e er den elektriske susceptibiliteten til materialet,

 \chi_m er den magnetiske susceptibiliteten til materialet,

ε er permittiviteten til materialet og

μ er permeabiliteten til materialet.