L'Hôpitals regel

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk

L'Hôpitals regel er en regel innenfor matematikken som brukes til å bestemme grenseverdier av ubestemmelige uttrykk som 00, 0/0, ∞/∞ og lignende. Regelen sier at en kan finne grenseverdien ved å derivere teller og nevner i uttrykket hvis det står på formen 0/0 eller ∞/∞.

Den er oppkalt etter Guillaume François Antoine, marquis de L'Hôpital, som først publiserte den.

Regel[rediger | rediger kilde]

  • Gitt funksjonene f(x) og g(x)
\lim_{x \to c}f(x)=\lim_{x \to c}g(x)=0.\,
  • eller:
\lim_{x \to c}f(x)=\pm\lim_{x \to c}g(x)=\pm\infty,\,
  • Er grenseverdien gitt ved:
\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}

Eksempler[rediger | rediger kilde]

  • Et enkelt eksempel på bruk av L'Hôpitals regel:
\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2}{2x^2} = \lim_{x\to\infty}\frac{6x}{4x} = \lim_{x\to\infty}\frac{6}{4} = \frac{3}{2}
  • Et litt mer komplisert uttrykk er gitt ved følgende ligning:

\begin{align}
\lim_{x\to 0} {2\sin x-\sin 2x \over x-\sin x}
& =\lim_{x\to 0}{2\cos x-2\cos 2x \over 1-\cos x} \\
& = \lim_{x\to 0}{-2\sin x +4\sin 2x \over \sin x} \\
& = \lim_{x\to 0}{-2\cos x +8\cos 2x \over \cos x} \\
& ={-2\cos 0 +8\cos 0 \over \cos 0} \\
& =6
\end{align}
  • Her er et eksempel på et ∞/∞ uttrykk:

  \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{\ln(x)}
  = \lim_{x \to \infty} \frac{\ 1/(2 \sqrt{x})\ }{1/x}
  = \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{2}
  = \infty
  • 0×∞ uttrykk:
\lim_{x\to 0+} (x  \ln x) =\lim_{x\to 0+}{\ln x \over 1/x}
=\lim_{x\to 0+}{1/x \over -1/x^2}
=\lim_{x\to 0+} -x = 0


  • For å regne ut uttrykk av formen 00 må uttrykket omskrives. Vi bruker resultatet fra forrige eksempel til å fastslå grenseverdien:
 \lim_{x\to 0} x^x  = e^{\lim_{x\to 0} (x  \ln x )} = e^0 = 1.