Ideal (matematikk)

Idealer er delmenger av ringer som er lukket under skalarmultiplikasjon. Generelle ringer kan være komplekse og mangle ønskede egenskaper som unik faktorisering. Idealer ble introdusert som en teknikk for å introdusere elementer som «ideelt sett» burde finnes i ringen, og som har bedre egenskaper enn selve elementene.

De ble først definert av Richard Dedekind i 1876 i Vorlesungen über Zahlentheorie (Forelesninger i tallteori) som en generalisering av Ernst Kummers «ideelle tall». Senere ble konseptet utvidet av David Hilbert og Emmy Noether. Etterhvert har det blitt klart at idealer fanger store mengder relevant informasjon om strukturen til ringer, og de har derfor blitt et essensielt konsept i algebraen.

Definisjon

Et (venstre/høyre) ideal av en ring R er en undergruppe I av R som er lukket under skalarmultiplikasjon. Dette betyr at I er et venstreideal dersom vi for alle a, b ∈ I og r ∈ R har

1. I ≠ ∅
2. a + b ∈ I
3. ra ∈ I

På samme vis er I et høyreideal dersom vi for alle a, b ∈ I og r ∈ R har

1. I ≠ ∅
2. a + b ∈ I
3. ar ∈ I

Merk at disse 3 aksiomene sammen impliserer at I er en undergruppe. Aksiom 1 sier at I ikke er tom, og aksiom 2 sier at I er lukket under ringoperasjonen. Aksiom 3 impliserer at for alle a ∈ I er (-1)a = -a ∈ I, og siden I inneholder et element a, er 0a = 0 ∈ I. Derson R ikke er kommutativ og I er både et venstre- og et høyreideal, kalles I et tosidig ideal. Dersom R er kommutativ sammenfaller definisjonene over, og vi kaller I bare et ideal. Vi kan se fra definisjonene at et ideal i en ring R er en R-modul. Vi antar videre at alle idealer er venstreidealer eller at R er kommutativ. De resultatene som gjelder for høyreidealer kan enkelt utledes fra resultatene for venstreidealer.

Dersom S er en delmengde av en ring R, finnes det et minste ideal som inneholder S. Dette kalles idealet generert av S og noteres (S). Dette idealet er

$(S)=\bigcap _{S\subseteq I{\text{ ideal}}}I$

og kan beskrives som samlingen av alle lineære kombinasjoner av elementene i S, dvs.

$(S)=\{r_{1}s_{1}+\cdots +r_{n}s_{n}|r_{i}\in R,s_{i}\in S\}$

Dersom R ikke er kommutativ, er det to-sidige idealet generert av S snittet av de tosidige idealene som inneholder S, og kan beskrives som

$(S)=\{r_{1}s_{1}r_{1}^{\prime }+\cdots +r_{n}s_{n}r_{n}^{\prime }|r_{i},r_{i}^{\prime }\in R,s_{i}\in S\}$

Dersom a₁, ..., a_n er elementer i R, skriver vi ofte (a₁, ..., a_n) for idealet de genererer. Et ideal generert av ett enkelt element a ∈ R, dvs. et ideal på formen

$(a)=\{ra|r\in R\}$

kalles et prinsipielt ideal eller hovedideal.

Det er en bijeksjon mellom idealer i R og kongruensrelasjoner over R. Med dette mener vi ekvivalensrelasjoner ~ som respekterer ringstrukturen, dvs. a ~ b og c ~ d impliserer at ac ~ bd og (a + c) ~ (b + d) for alle a, b, c, d ∈ R. Et ideal I gir oss en kongruensrelasjon ved definisjonen a ~ b dersom (a - b) ∈ I. En kongruensrelajon ~ gir oss et ideal ved I = {x ∈ R | x ~ 0}

Eksempler

Heltallene Z	Delmengen (n) av Z bestående av multipler av et tall n, dvs. (n) = {..., -2n, -n, 0, n, 2n, ...} er et ideal. Dette idealet er prinsipielt. Alle idealer i Z er faktisk prinsipielle: Dersom I er et ideal som ikke er lik (0), inneholder det et minste positivt element n. Dersom m er et annet element i idealet, vet vi at am + bn ∈ I for alle a, b ∈ I. Dette impliserer at gcd(m,n) ∈ I, men siden gcd(m,n)≤ n, må vi ha at gcd(m,n) = n. Dermed følger det at I = (n). Idealet (n) er et primideal hvis og bare hvis n er et primtall.
Kropper	De eneste idealene i en kropp K er de trivielle idealene, siden alle elementene er enheter. Dette betyr at de eneste idealene i Q, R og C er null- og enhetsidealene.
Funksjonsrommet C(R)	La C(R) være ringen av alle kontinuerlige funksjoner R →R. Delmengden av alle funksjoner som forsvinner ved 0, dvs. for hvilket f(0) = 0, er et ideal. Dette idealet er maksimalt.
Matriseringen Mn(R)	Mengden av alle n x n-matriser over R former en ring under matriseaddisjon og -multiplikasjon. Denne ringen er ikke kommutativ med mindre n = 1. Delmengden av alle matriser der siste kolonne er 0 er et venstreideal. Delmengden av alle matriser der siste rad er 0 er et høyreideal.

Primidealer og maksimale idealer

Primidealer er en generalisering av primtallene i Z. Et tall p ∈ Z sies å være et primtall dersom det tilfredsstiller følgende egenskap: dersom p | ab så har vi enten at p | a eller p | b. Oversatt til idealer betyr dette at p er et primtall hvis ab ∈ (p) impliserer at enten a ∈ (p) eller b ∈ (p).

Generelt så benytter vi oss av følgende definisjon: Et ideal I sies å være primisk, eller å være et primideal, dersom det har den egenskapen at hvis ab ∈ I, er enten a ∈ I eller b ∈ I.

Alle idealer er ordnet ved inklusjon. Et maksimal ideal er et ideal I ⊊ R, slik at det ikke finnes noe annet ideal J slik at I ⊊ J ⊊ R.

Et ideal I er primisk hvis og bare hvis R/I er et integritetsområde, og maksimalt hvis og bare hvis R/I er en kropp.

Idealer og ringhomomorfier

Dersom f : R → S er en ringhomomorfi, kan vi observere at kjernen av f ker(f), definert som alle elementer i R som blir sendt til 0 under f, er et ideal. Dette fordi

$f(a+b)=f(a)+f(b)=0+0=0$

$f(ra)=rf(a)=r0=0$

dersom a, b ∈ ker(f) og r ∈ R, slik at a+b, ra ∈ ker(f).

Dersom I er et ideal, kan vi observere at I er kjernen til projeksjonsavbildningen til faktorringen R/I.

Litteratur

• Lang, Serge (2005). Undergraduate Algebra (Third utg.). Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-22025-3. 
• Michiel Hazewinkel, Nadiya Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna Gubareni, Vladimir V. Kirichenko. Algebras, rings and modules. Volume 1. 2004. Springer, 2004. ISBN 1-4020-2690-0