Hilberts hotell

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk

Hilberts Hotell er et paradoks om et hypotetisk hotell som matematikeren David Hilbert har brukt for å illustrere uendelighetsbegrepet.

Eksempel 1[rediger | rediger kilde]

Anta et hotell har uendelig mange rom. En dag kommer det en gjest inn og sier at alle rommene er opptatte. Resepsjonisten tenker litt over problemet, og svarer med å be alle beboere flytte til et romnummer høyere. Dvs.

\text{Person i Rom 1} \longrightarrow \text{Person i Rom 2}
\text{Person i Rom 2} \longrightarrow \text{Person i Rom 3}
 \vdots
\text{Person i Rom }n \longrightarrow \text{Person i Rom }n+1
 \vdots

osv. Dermed vil Rom 1 være tomt slik at en ny gjest kan flytte inn. Uformelt, betyr dette at 1+\infty=\infty.

Eksempel 2[rediger | rediger kilde]

Anta fortsatt at et hotell har uendelig mange rom. En dag kommer det uendelig mange gjester til hotellet. Resepsjonisten gir de ankomne gjestene ledige rom ved å flytte alle beboere til det dobbelte av romnummeret deres. Dvs.

\text{Person i Rom 1} \longrightarrow \text{Person i Rom 2}
\text{Person i Rom 2} \longrightarrow \text{Person i Rom 4}
 \vdots
\text{Person i Rom }n \longrightarrow \text{Person i Rom }2n
 \vdots

osv. Dermed vil alle rom med oddetall være tomme slik at de ankomne gjestene kan flytte inn. Uformelt, betyr dette at 2\cdot \infty = \infty

Kardinalitetsbegrepet[rediger | rediger kilde]

Eksemplene med Hilberts hotell gir sluttsatsen om at mengden av partall, mengden av oddetall mengden av naturlige tall, mengden av heltall og mengden av rasjonale tall har samme kardinalitet og er alle sammen derfor tellbart uendelige.

Se også[rediger | rediger kilde]