Fakultet (matematikk)

Fakultet eller n-fakultet er i matematikk en funksjon som beregner produktet av de naturlige tallene fra 1 til n. Funksjonen betegnes med symbolet n!, som leses som n-fakultet.

Eksempel:

$4! = 1\cdot2\cdot3\cdot4 = 24$

Definisjon

Formelt kan en definere n-fakultet som

$n!=\prod_{k=1}^n k \qquad \forall n \in \mathbb{N}\!$

eller rekursivt ved

$n! = \begin{cases} 1 & \text{ hvis } n = 0 \\ n (n-1)! & \text{ hvis } n > 0 \\ \end{cases} \qquad \forall n \in \mathbb{N}.$.

Begge definisjonene inkluderer spesialtillfellet

$0! = 1 \$

Funksjonsverdiene definerer en uendelig tallfølge som begynner med 1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800 ...

Bruk

Fakultet opptrer naturlig i mange problemer i kombinatorikk: Antall måter man kan ordne n objekter i rekkefølge er lik n!. Antall måter er kan velge ut k objekter fra en samling på n objekter er gitt ved binomialkoeffisienten, definert ved

${n\choose k}={n!\over k!(n-k)!}.$

Bruken av fakultet forenkler også notasjonen i arbeid med følger og rekker. Den matematiske konstanten e kan for eksempel defineres som

$e = \sum_{n=0}^\infty {1 \over n!}$

Vekstrate

Plott av den naturlige logaritmen til n!

Når n øker vil n-fakultet vokse fortere enn et vilkårlig polynom p(n) og også fortere enn eksponensialfunksjonen med argument n . En asymptotisk tilnærming av n! er gitt ved Stirlings formel,

$n! \sim \left(\frac ne\right)^n\sqrt{2\pi n}.$

Fra Stirlings formel kan en også utlede en enkel tilnærming for den naturlige logaritmen til n! ,

$\log n! \approx n\log n - n + \frac {\log n} {2} + \frac {\log(2\pi)} {2}.$

Fra dette kan en se at log n! er av orden n log n, et resultat som er viktig for analyse av sorteringsalgoritmer.

Gammafunksjonen

Gammafunksjonen

Utdypende artikkel: Gammafunksjonen

Gammafunksjonen er en generalisering av fakultet, der definisjonsområdet er utvidet fra de naturlige tallene til å omfatte alle relle tall. Funksjonen er definert ved

$\Gamma (x) = \int_0^\infty t^{x-1}e^{-t}dt$

For hele, positive tall og null $(n=0,1,2,...)$ gjelder det at

$n! = \Gamma(n+1)\,$

Historie

Notasjonen n! ble innført av den franske matematikeren Christian Kramp i 1808, i verket Éléments d'arithmétique universelle.

Eksterne lenker

• http://factorielle.free.fr