Elementær algebra

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk

Elementær algebra er en grunnleggende og relativt enkel form for algebra undervist til studenter som antas å ha liten eller ingen formell kunnskap om matematikk utover aritmetikk. Det er vanligvis undervist i videregående skole under betegnelsen «algebra». Den største forskjellen mellom algebra og aritmetikk er inkluderingen av variabler. Mens man i aritmetikk bare anvender tall og aritmetiske operasjoner (for eksempel +, -, ×, ÷), bruker man i algebra også variabler, som x og y.

Aspekter ved algebra[rediger | rediger kilde]

Variabler[rediger | rediger kilde]

Hensikten med å bruke variabler, symboler som betegner tall, er å tillate inngåelse av generaliseringer i matematikk. Dette er nyttig fordi:

  • Det muliggjør at aritmetiske ligninger (og ulikheter ) kan oppgis som lover (slik som a + b = b + a for alle a og b), og er dermed et første skritt til systematisk studie av egenskapene til det reelle tallsystemet.
  • Det tillater henvisning til tall som ikke er kjent. I forbindelse med et problem, kan en variabel representere en viss verdi som ennå ikke er kjent, men som kan bli funnet gjennom utforming og manipulering av likninger.
  • Det åpner for utforskningen av matematiske sammenhenger mellom mengder («slik som hvis du selger x billetter, så din fortjeneste vil være 3x – 10 dollar»).

Uttrykk[rediger | rediger kilde]

I elementær algebra kan et uttrykk inneholder tall, variabler og aritmetiske operasjoner. Disse blir vanligvis skrevet med leddet med høyest grad til venstre (se polynom), noen få eksempler er:

x + 3\,
y^{2} + 2x - 3\,
z^{7} + a(b + x^{3}) + 42/y - \pi.\,

I mer avansert algebra, kan et uttrykk også omfatte elementære funksjoner .

Operasjoner[rediger | rediger kilde]

Egenskaper til operasjoner
Operasjon Er skrevet Kommutativitet Assosiativitet Identitetselement Invers funksjon
Addisjon a + b a + b = b + a (a + b) + c = a + (b + c) 0, som bevarer tall: a + 0 = a Subtraksjon (-)
Multiplikasjon a × b eller ab a × b = b × a (a × b) × c = a × (b × c) 1, som bevarer tall: a × 1 = a Divisjon (/)
Potens ab eller a ^ b Ikke kommutativ abba Ikke assosiativ 1, som bevarer tall: a1 = a Logaritme (Log)
  • Driften av Addisjon ...
    • betyr gjentatte tillegg av dem: n = 1 + 1 +...+ 1 (n antall ganger);
    • har en invers operasjon kalt subtraksjon: (a + b) - b = a, som er det samme som å legge et negativt tall, a - b = a + (- b);
  • Driften av multiplikasjon ...
    • betyr gjentatte tillegg: a × n = a + a +...+ a (n antall ganger);
    • har en invers operasjon kalt divisjon, som er definert for nummerover null: (ab) / b = a, som er det samme som å multiplisere med en gjensidig , a / b = a' (1 / b);
    • distribuerer i løpet tillegg: (a + b) c = ac + bc;
    • er forkortet av sammenstillingen: a × bab;
  • Driften av potens ...
    • betyr gjentatt multiplikasjon: an = a × a ×...× a (n antall ganger);
    • har en invers operasjon, kalt logaritmen : alogab = b = logaab;
    • distribuerer mer enn multiplikasjon: (ab)c = acbc;
    • kan skrives i form av n-te røtter: am/n ≡ (na)m og dermed enda røtter av negative tall ikke eksisterer i den virkelige tallsystem. (Se: komplekse tallsystem)
    • har eiendommen: abac = ab + c;
    • har egenskapen: (ab)c = abc.
    • generelt abba and (ab)ca(bc);