Eksponentiell vekst

Plott som viser hvordan eksponentiell vekst er raskere enn både lineær og kubisk vekst.

Eksponentiell vekst er en økning i et antall som er proporsjonal med antallet selv. Enhver forandring som øker antallet med samme prosentdel over samme tid (per år, per time, etc) vil resultere i en eksponentiell vekst.

For eksempel vil befolkningen i et land hvor hvert par får mer enn to barn, øke eksponentielt. Antall kroner spart på en konto med fast rente, vil øke eksponentielt med tiden. Slik kan også antall bakterier forandre seg ved uhemmet vekst under en infeksjon. Antall nøytroner som blir produsert ved en kjedereaksjon i en atombombe, øker i begynnelsen på samme måte.

Ofte er det hensiktsmessig å beskrive eksponentiell vekst som en funksjon av tiden. Ikke uventet er dette den eksponentielle funksjonen eller eksponentialfunksjonen hvor tiden opptrer i eksponenten. Denne spesielle funksjonen har en sentral rolle i all matematikk og fysikk. Når eksponenten er negativ, snakker man om eksponentiell reduksjon. Et kjent eksempel er radioaktivt henfall.

Eksponentiell vekst ble spesielt mye omtalt i forbindelse med koronaviruspandemien i 2019–2020.

Definisjon

Matematisk beskrives eksponentiell vekst ved en vekstfaktor g som sier hvor mye antallet under betraktning øker gjennom hvert typisk tidsintervall. Hvis man starter ut med et antall N₀ ved tiden t = 0, vil det neste gang ha øket til N₁ = N₀ g. Etter forløpet av enda et tidsintervall har man N₂ = N₁g = N₀ g². På samme måte vil det fortsette slik at man etter n  tidsintervall har et totalt antall i populasjonen

$N_{n}=N_{0}g^{n}$

Det er derfor naturlig å omtale vekstfaktoren g som en multiplikasjonsfaktor. Betrakter man her n som en kontinuerlig variabel, er uttrykket på høyre side eksponentialfunksjonen med grunntall g. Den øker eksponentielt når g > 1 og avtar eksponentielt når g < 1. I det spesielle tilfellet at vekstfaktoren g = 1, forblir antallet konstant.

Ofte er det hensiktsmessig å skrive multiplikasjonsfaktoren g = 1 + r  hvor tallet r kalles vekstraten. For en sparekonto med en rente R i prosent, er r = R/100. Betingelsen for eksponentiell vekst er derfor at denne vekstraten er et positivt tall.

Eksempler

Numerisk simulering av hvordan bakterier under optimale forhold formerer seg eksponentielt.

En typisk bakterie formerer seg ved å gi to nye utgaver av seg selv. Det tilsvarer en vekstfaktor g = 2. Etter n generasjoner vil denne ene bakterien derfor ha resultert i 2ⁿ  nye bakterier. Det betyr at etter n = 20 slike celledelinger, har det gitt over en million nye bakterier. Hvis hver deling tar en time, vil det si at man har dette antallet etter knapt et døgn.

Renters rente

Hvis man plasserer 1000 kr i banken med en sparerente på 2,5 %, får man etter et år utbetalt 25 kr i rente. Da har beløpet på kontoen steget til (1000 + 25) kr = 1025 kr som kan skrives som 1000⋅(1 + 0.025) kr. Og slik fortsetter det forutsatt at rentefoten blir holdt konstant. Etter for eksempel tretten år, har man da i alt et antall kroner

$N_{13}=1000\cdot (1+0.025)^{13}=1379$

på kontoen. Med en årlig rentesats på R målt i prosent, vil mer generelt et opprinnelig beløp N₀  ha vokst til

$N_{n}=N_{0}{\Big (}1+{R \over 100}{\Big )}^{n}$

etter n år. Lever man lenge nok, kan dette bli så stort som man bare måtte ønske seg.

Matematisk beskrivelse

En av de første som studerte matematikken involvert i forbindelse med utregning av rente og rentes rente, var Loenardo da Pisa, mer kjent som Fibonacci. I dag blir renten på en sparekonto lagt til det opprinnelige beløpet etter et år. Men man kunne i prinsippet legge den til etter ett halvt år eller hver måned. Hvis man da beholder rentefoten, vil beløpet på kontoen øke raskere enn om renten bare ble lagt til hvert år.

Som et ekstremt eksempel kan man tenke seg at rentefoten er 100 % per år. Det tilsvarer en årlig vekstrate på x = 1. Hvis man har 1 kr ved årets begynnelse, vil man ha 2 kr etter et år. Hvis man i stedet blir enig om å legge til 50 % to ganger i året, ville man etter et år da ha 1.5 × 1.5 = 2.25 kr på kontoen. Alternativt, hvis man enes om å legge til renten etter hvert kvartal, vil man ved årets slutt ha 1.25⁴ = 2.44 kr. Ved en slik oppdeling i et stort antall mindre intervall nærmer dette tallet seg 2.72 kr.

Mer generelt har denne ene kronen for en vekstrate på x per år og en oppdeling av denne perioden i et veldig stort antall n intervall, vokst til

$y={\Big (}1+{x \over n}{\Big )}^{n}=e^{x}$

nye kroner. Her er Eulers tall e = 2.71828... og er grunntallet i den naturlige eksponentialfunksjonen y = e^x. Den har den viktige egenskapen at den er lik med sin egen deriverte, det vil si dy/dx = y. Omvendt kan man si at denne differensialligningen definerer funksjonen.

Kontinuerlig vekst

Grafisk fremstilling av eksponentialfunksjonen med grunntall g = 2.

Antallet i en eksponentielt voksende mengde øker som N_n = N₀ gⁿ etter n generasjoner fra det opprinnelige tidspunktet da antallet var N₀. Vekstfaktoren g sier hvordan antallet i populasjonen øker hver gang i løpet av et tidsintervall T. Det kan være en time eller en uke avhengig av hvilken prosess man beskriver. Istedenfor å benytte antall generasjoner n som et itdsmål, kan man derfor like så godt benytte tidspunktet t = nT  når n-te generasjon opptrer. Da kan de diskrete antallene N_n erstattes med den kontinuerlige funksjonen N(t) definert ved

$N_{n}\rightarrow N(t)=N(nT)=N_{0}g^{n}=N_{0}g^{t/T}$

Dette er en eksponentialfunksjon med grunntall g. Det er en kontinuerlig funksjon som kan benyttes for alle tidspunkt t, også for de som ikke er et helt multiplum av tidsintervallet T som definerer vekstraten.

For en viss vekstfaktor g = 1 + r  kan man herav finne hvor lang tid t₂  det tar for en fordobling av populasjonen. Den er definert ved N(t₂) = 2N₀ og kalles fordoblingstiden. Det betyr at g^t₂/T = 2  eller

${t_{2} \over T}={\ln 2 \over \ln g}={\ln 2 \over \ln(1+r)}$

Her er den naturlige logaritme ln 2 = 0.69, og man kan tilnærmet sette ln(1 + r ) = r  når vekstraten r << 1. Dermed kan man anslå fordoblingstiden fra formelen t₂ = 0.69/r  når den måles i enheter av tidsperioden T som er implisitt inneholdt i vekstraten r.

Antas at en pandemi som Covid-19 har en vekstrate på r = 12% per dag i begynnelsesfasen, vil antall smittede derfor dobles etter tilnærmet t₂ = 0.69/0.12 = 6 dager. En mer fullstendig beskrivelse av tidsutviklingen finnes i SIR-modellen. Samme formel for eksponentiell vekst gir at et beløp på en sparekonto i en bank som tilbyr en rente r = 3% per år, vil først fordobles etter 0.69/0.03 = 23 år.

Naturlig eksponentialfunksjon

Mange praktiske beregninger blir enklere når man uttrykker funksjonen for eksponentiell som en naturlig eksponentialfunksjon med grunntall e = 2.7128... Det gjøres mest direkte ved å skrive vekstfaktoren som g = e^ln g. Dermed blir

$N(t)=N_{0}e^{(\ln g/T)t}=N_{0}e^{kt}$

der k = lng /T kalles for tidskonstanten. Den har en dimensjon som er invers tid, for eksempel s^-1 (per sekund), per dag eller per år. Fordoblingstiden kan nå skrives som

$t_{2}={\ln 2 \over k}$

som bare er en omskrivning av det forrige uttrykket.

Negativ vekst eller eksponentiell reduksjon beskrives ved en negativ tidskonstant slik at N(t ) = N₀e^-kt. Etter en tid t₂ er da antallet i populasjonen redusert med en faktor 2. Den kalles derfor for halveringstiden og benyttes for eksempel i omtale av radioaktive stoffer.

Vekstligninger

Kontinuerlig vekst kan også beskrives ved en differensialligning som ofte gir en mer detaljert forståelse av prosessen. Man fokuserer da på hva som skjer i korte tidsintervall Δt der populasjon øker med et tilsvarende lite antall ΔN. Eksponentiell vekst oppstår når denne lille økningen er proporsjonal med den eksisterende mengden slik at ΔN = r N. Vekstraten r må bli null hvis Δt er så liten at ingenting skjer. Derfor kan man sette at r = k Δt hvor k igjen er tidskonstanten. Da nå ΔN = k Δt N, får man

${dN \over dt}=kN$

når de små størrelsene Δt og ΔN erstattes av differensialene dt og dN. Dette er vekstligningen for eksponentiell vekst. Den er en førsteordens differensialligning som lett løses ved å skrive den som dN/N = kdt. Fra definisjonen av den naturlige logaritme er derfor ln(N/N₀) = kt  når N₀  er antallet ved begynnelesestidspunktet t = 0. Denne formen til løsningen er ekvivalent med N(t ) = N₀e^kt.

Uttrykket k = r /Δt er konsistent med k = lng /T som ble tidligere funnet for kontinuerlig vekst der vekstfaktoren g  gjelder for et endelig tidsintervall T. Men nå er T = Δt  svært liten slik at man tilnærmet også kan sette lng = ln(1 + r ) = r  da vekstraten r er så liten.

Logistisk vekst

Grafisk fremstilling av N/P for logistisk vekst med tidskonstant k =1. Tiden angis fra det tidspunktet der veksthastigheten er størst, det vil si der N/P = 1/2.

I virkeligheten kan ikke eksponentiell vekst fortsette i det uendelige. Blir det for mange mennesker i et land, kan det etter hvert bli for lite mat eller de blir boende så tett og usunt at stadig flere dør av sykdom. Dette betyr at vekstraten blir mindre ved et økende antall i populasjonen. Hvis denne reduksjonen er lineær, må man erstatte r med r (1 - N/P ) hvor P er en ny konstant som er lik med den maksimale verdi N kan ta. Vekstligningen tar dermed formen

${dN \over dt}=kN{\Big (}1-{N \over P}{\Big )}$

Dette er logistiske vekstligningen og har som viktigste egenskap at den eksponentielle veksten vil avta etter en stund og til slutt stoppe helt opp med en sluttverdi N = P. Da dN/dt angir hastigheten av veksten, er høyresiden i ligningen et uttrykk for hvor stor den er for hver verdi av N. Det gir at veksten øker raskest når N har nådd halvparten av maksimalverdien P og deretter vil avta mot null. Som funksjon av tiden vil derfor hastigheten starte ut fra null, nå et maksimum med N = P/2 og så avta mot null igjen.

Differensialligningen kan løses eksakt med resultatet ved å skrive den på formen

${PdN \over N(P-N}=dN{\Big (}{1 \over N}+{1 \over P-N}{\Big )}=kdt$

Her kan vært ledd på venstresiden integreres ved hjelp av den naturlige logaritmefunksjonen. På den måten finner man løsningen

$N(t)={N_{0}Pe^{kt} \over P+N_{0}(e^{kt}-1)}$

der N₀ igjen er antallet ved tidspunktet t = 0. Den beskriver en eksponentiell vekst ved tidlige tidspunkt. Senere flater den etterhvert ut og nærmer seg P når t er blitt mye større enn den karakteristiske tiden 1/k som bestemmer hastigheten til veksten.

Denne logistiske tidsutvikling er viktig i populasjonsdynamikk og er et speilbilde av Fermi-Dirac-fordelingen i statistisk fysikk.

Polynomial vekst

Eksponentiell vekst er karakterisert ved at vekstraten hele tiden er den samme. Dette er forskjellig fra hva som skjer i en prosess hvor antallet vokser som et polynom med tiden. Hvis dette er av grad p, har man da ved sene tidspunkt at

$N(t)=at^{p}$

hvor a er en konstant. Dette representrerer lineær vekst når p = 1, kvadratisk vekst for p = 2 og så videre. Vekstraten ved hvert tidspunkt er nå

${1 \over N}{dN \over dt}={p \over t}$

Den er ikke konstant, men avtar med tiden. På lignende måte varierer også fordoblingstiden t₂ for en slik polynomial vekst. Den er nå gitt ved

$\ln {\big (}1+{t_{2} \over t}{\big )}={\ln 2 \over p}$

Da høyresiden her er en konstant mindre enn 1, har man tilnærmet at t₂ = ln 2t /p og øker derfor proporsjonalt med tiden. Det tar lengre og lengre tid for at antallet i populasjonen vil fordobles, mens ved eksponentiell vekst forblir denne tiden den samme.

Se også

• SIR-modellen
• Populasjonsdynamikk
• Moores lov

Eksterne lenker

• NDLA, Eksponentiell vekst, norsk fagartikkel
• Institutt for Biovitenskap, Logistisk vekst, Universitetet i Oslo.