Cauchy–Schwarz’ ulikhet

Cauchy–Schwarz’ ulikhet er en av de viktigste ulikhetene i lineær algebra. Den har sitt navn etter den franske matematikeren Augustin Louis Cauchy (1789–1857) og den tyske matematikeren Herman Amandus Schwarz (1843–1921). Trekantulikheten kan bevises ved å bruke Cauchy-Schwarz ulikhet.

For vektorer $\mathbf{u}=(u_1,u_2)$ og $\mathbf{v}=(v_1,v_2)$ i planet sier ulikheten at:

$|u_1v_1+u_2v_2|\leq\sqrt{u_1^2+u_2^2}\sqrt{v_1^2+v_2^2}$.

Generelt gjelder: For vektorer $\mathbf{u}$ og $\mathbf{v}$ i et reelt vektorrom med indreprodukt $\cdot$, eksempelvis det Euklidske n-rommet $\mathbb{R}^n$, er

$|\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}|\leq \|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|$.

Eksempler

Vinkler

Ulikheten forsikrer at vinkelen mellom to vektorer, begge ulik $0$, er veldefinert. Denne vinkelen $\theta$ er spesifisert ved

$\cos\theta=\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|}$ og $0\leq\theta\leq\pi$.

Amplityde for svingninger

Svingninger beskrives ved en funksjon $f(x)=a\cos(x)+b\sin(x)$, hvor $a$ og $b$ er parametere. Ved å se på $(a,b)$ og $(\cos(x),\sin(x))$ som vektorer i planet gir Cauchy-Schwarz’ ulikhet at

$|f(x)|=|a\cos(x)+b\sin(x)|\leq\sqrt{a^2+b^2}$

siden $\cos^2(x)+\sin^2(x)=1$.

Bevis

Dersom $\mathbf{u}$ eller $\mathbf{v}$ er lik $0$, så er ulikheten opplagt. Anta derfor at begge vektorene er ulik $0$.

La $t$ være en skalar, og se på vektoren $t\mathbf{u}+\mathbf{v}$. Vi har

$(t\mathbf{u}+\mathbf{v})\cdot(t\mathbf{u}+\mathbf{v})\geq0$.

Ved å multiplisere ut venstre side og betrakte den som et polynom i $t$, får vi

$\|\mathbf{u}\|^2t^2+2(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})t+\|\mathbf{v}\|^2\geq0$.

Et annengradspolynom $at^2+bt+c$ er større enn eller lik $0$ for alle $t$ dersom $a\geq0$ og diskriminanten $D=b^2-4ac$ er mindre enn eller lik $0$. I vårt tilfelle fås:

$(2(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}))^2-4\|\mathbf{u}\|^2\|\mathbf{v}\|^2\leq0$.

En rydder opp og ser at:

$(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})^2\leq\|\mathbf{u}\|^2\|\mathbf{v}\|^2$.

Cauchy-Schwartz’ ulikhet fremkommer nå ved å ta kvadratrot på begge sider:

$|\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}|\leq \|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|$.