Cauchy–Schwarz’ ulikhet

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
(Omdirigert fra Cauchy-Schwarz' ulikhet)
Gå til: navigasjon, søk

Cauchy–Schwarz’ ulikhet er en av de viktigste ulikhetene i lineær algebra. Den har sitt navn etter den franske matematikeren Augustin Louis Cauchy (1789–1857) og den tyske matematikeren Herman Amandus Schwarz (1843–1921). Trekantulikheten kan bevises ved å bruke Cauchy-Schwarz ulikhet.

For vektorer \mathbf{u}=(u_1,u_2) og \mathbf{v}=(v_1,v_2) i planet sier ulikheten at:

|u_1v_1+u_2v_2|\leq\sqrt{u_1^2+u_2^2}\sqrt{v_1^2+v_2^2}.

Generelt gjelder: For vektorer \mathbf{u} og \mathbf{v} i et reelt vektorrom med indreprodukt \cdot, eksempelvis det Euklidske n-rommet \mathbb{R}^n, er

|\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}|\leq \|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|.

Eksempler[rediger | rediger kilde]

Vinkler[rediger | rediger kilde]

Ulikheten forsikrer at vinkelen mellom to vektorer, begge ulik 0, er veldefinert. Denne vinkelen \theta er spesifisert ved

\cos\theta=\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|} og 0\leq\theta\leq\pi.

Amplityde for svingninger[rediger | rediger kilde]

Svingninger beskrives ved en funksjon f(x)=a\cos(x)+b\sin(x), hvor a og b er parametere. Ved å se på (a,b) og (\cos(x),\sin(x)) som vektorer i planet gir Cauchy-Schwarz’ ulikhet at

|f(x)|=|a\cos(x)+b\sin(x)|\leq\sqrt{a^2+b^2}

siden \cos^2(x)+\sin^2(x)=1.

Bevis[rediger | rediger kilde]

Dersom \mathbf{u} eller \mathbf{v} er lik 0, så er ulikheten opplagt. Anta derfor at begge vektorene er ulik 0.

La t være en skalar, og se på vektoren t\mathbf{u}+\mathbf{v}. Vi har

(t\mathbf{u}+\mathbf{v})\cdot(t\mathbf{u}+\mathbf{v})\geq0.

Ved å multiplisere ut venstre side og betrakte den som et polynom i t, får vi

\|\mathbf{u}\|^2t^2+2(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})t+\|\mathbf{v}\|^2\geq0.

Et annengradspolynom at^2+bt+c er større enn eller lik 0 for alle t dersom a\geq0 og diskriminanten D=b^2-4ac er mindre enn eller lik 0. I vårt tilfelle fås:

(2(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}))^2-4\|\mathbf{u}\|^2\|\mathbf{v}\|^2\leq0.

En rydder opp og ser at:

(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})^2\leq\|\mathbf{u}\|^2\|\mathbf{v}\|^2.

Cauchy-Schwartz’ ulikhet fremkommer nå ved å ta kvadratrot på begge sider:

|\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}|\leq \|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|.