Annet arealmoment

Ved beregning av bjelkespenninger brukes annet arealmoment. Ofte kalles annet arealmoment litt feilaktig for treghetsmomentet. I denne sammenhengen handler det om arealtreghetsmomentet, og ikke massetreghetsmomentet som brukes i dynamikk. Se treghetsmoment.

Annet arealmoment benevnes I, og beregnes generelt ved å integrere over tverrsnittet

$I=\int\limits_A y^2\, dA$

I vanlig praksis brukes formler som er beregnet for standardprofiler, og noen eksempler er gitt under.

Rektangulært tverrsnitt

Integralet løses på følgende måte for et rektangulært tverrsnitt:

$I_x=\int\limits_{-h/2}^{h/2} y^2\, b dy = {\left [ \frac{y^3 b}{3} \right ]}_{-h/2}^{h/2} = \frac{b h^3}{12}$

der h er høyden, og b er bredden av det rektangulære tverrsnittet. I_x blir da annet arealmoment om x-aksen i senteret C.

Sirkulært tverrsnitt

Integralet er ikke vist her, men et rørtverrsnitt beregnes fra $I=\frac{\pi D^4}{64}$, der D er ytterdiameteren

Rørtverrsnitt

$I=\frac{\pi}{64}(D^4-d^4)$

der D er ytterdiameteren, og d er innerdiameteren.

Anvendelse av annet arealmoment

En vanlig anvendelse av annet arealmoment er ved beregning av bøyespenningen, $\sigma_b$ i en bjelke.

$\sigma_b = \frac{M}{I}y$

der M er momentet, I er annet arealmoment og y er avstanden fra arealsenteret til punktet der du ønsker å beregne spenningen. Dersom du har et rektangulært tverrsnitt er y = h/2.

Steiners teorem

Dersom du har et tverrsnitt som er sammensatt av flere arealer som ikke ligger på samme akse som tyngdepunktet av arealet, er det vanlig å bruke Steiners teorem for å beregne annet arealmoment, kalt parallellakseteoremet, eller Steiners Sats.

$I_z = I_x + Ad^2.\,$, der I_x er annet arealmoment for arealet som ligger på en parallell akse utenfor arealsenteret (i akse z), d er avstanden fra arealsenteret i akse z til arealsenteret av A.

Motstandsmomentet

Et annet vanlig begrep i bjelkeberegninger er motstandsmomentet eller tverrsnittsmodulen (Engelsk: Section modulus), og benevnes ofte W. I vanlig praksis beregnes bøyespenningen $\sigma_b$ fra

$\sigma_b = \frac{M}{W}$, der $W = \frac {I} {y} = \frac {I} {h/2}$

siden arealsenteret til tverrsnittet vanligvis ligger i midten av tverrsnittet, og følgelig er avstanden fra senteret av tverrsnittet til ytterste fiber lik h/2.

Motstandsmomentet for noen vanlige tverrsnitt er gitt under

Rektangulært tverrsnitt

$W_x = \frac {bh^2}{6}$

b = bredden, h = høyden Her gjelder bøying om x-akse

Sirkulært tverrsnitt

$W = \frac {\pi D^3}{32}$

D = diameteren

Rørtverrsnitt

$W = \frac {\pi}{32 D}(D^4 - d^4)$

D = ytterdiameter, d = innerdiameter