Andreordens dynamisk system

Fletting: Det er foreslått at denne artikkelen eller seksjonen blir flettet inn i Harmonisk oscillator. Angitt grunn: Artiklene behandler samme tema  (Diskusjon).

Et andreordens dynamisk system er et mekanisk system som kan beskrives med en andreordens differensialligning. Et slikt system blir også kalt en resonator eller harmonisk oscillator.

Masse-fjær-demper-systemet

Dette er et vanlig eksempel på et andreordens dynamisk system. En masse er opphengt i en fjær og dempes proporsjonalt med hastigheten. Dynamikken kan beskrives uten konstante krefter, som tyngdekraften. Fra Newtons 2. lov og Hookes lov kan systemet beskrives slik:

$m \cdot {d^2 x \over dt^2} = -D \cdot {dx \over dt} - k \cdot x$ som er det samme som

$m \ddot x = -D \cdot \dot x - k \cdot x$

Der x er posisjonen, m er massen, D er dempingskonstanten og k er fjærkonstanten, eller E-modulen. Skrevet på standardform blir likningen slik:

${\ddot x} + {D \over m} \cdot \dot x + {k \over m} \cdot x = 0$

Prosessen er homogen, siden uttrykket er lik 0. Ved å innføre udempet resonansfrekvens ω₀ og relativ dempingsfaktor ζ,

$\omega_0=\sqrt{k \over m}, \zeta={D \over {2 \sqrt{km}}},$

kan likningen omskrives til:

${\ddot x} + 2 \zeta \omega_0 \dot x + \omega_0^2 x = 0$.

Systemet er overdempet hvis ζ>1, kritisk dempet hvis ζ=1 og underdempet hvis ζ<1. Et overdempet system har treg transient respons, og vil nærme seg stasjonærverdien sakte og teoretisk sett aldri komme dit, mens et underdempet system vil oscillere om stasjonærverdien. Et kritisk dempet system vil svinge inn mot den nøyaktige stasjonærverdien uten oversving og bli der. Et underdempet system svinger med lavere frekvens jo større demping det er, noe som kommer av at den dempede resonansfrekvensen, ω_D er lik:

$\omega_D = \omega_0 \cdot \sqrt{1 - \zeta^2}$

Når man løser likningen for et underdempet homogent system, får man som løsninger to komplekse tall som er konjugerte av hverandre og kan skrives på formen λ=v±iω. Da er den generelle løsningen:

$x = e^{vt} \cdot (C_1 \cos (\omega t) + C_2 \sin (\omega t))$