Abels teorem

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk

Abels teorem i matematikk relaterer grenseverdien for en potensrekke til summen av koeffisientene. Teoremet er oppkalt etter den norske matematikeren Niels Henrik Abel.

Teorem[rediger | rediger kilde]

La a = {ai: i ≥ 0} være en vilkårlig følge av reelle eller komplekse tall, og la

G_a(z) = \sum_{i=0}^{\infty} a_i z^i\!

være potensrekken med koeffisientene a. Anta at rekken \sum_{i=0}^\infty a_i\! konvergerer. Da

\lim_{z\rightarrow 1^-} G_a(z) = \sum_{i=0}^{\infty} a_i.\qquad (*)\!

I det spesielle tilfellet da alle koeffisientene ai er reelle og ai ≥ 0 for alle i, vil uttrykket overfor (*) gjelde også når rekken \sum_{i=0}^\infty a_i\! ikke konvergerer. I så tilfelle er begge sidene av uttrykket lik +∞.

Bemerkning[rediger | rediger kilde]

I en mer generell versjon av dette teoremet gjelder følgende: hvis r er et tilfeldig reelt tall ulik null og rekken 
\sum_{i=0}^\infty a_i r^i\! konvergerer for dette tallet, da følger det at

\lim_{z\to r} G_a(z) = \sum_{i=0}^{\infty} a_ir^i\!

forutsatt at vi tolker grensen for dette uttrykket som en énsidig grense, fra venstre hvis r er positiv og fra høyre hvis r er negativ.

Eksempler[rediger | rediger kilde]

La f(x)=\sum_{n \geq 1} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} = \log (1+x). Da \sum_{n \geq 1} \frac{(-1)^{n+1}}{n} konvergerer (av konvergenskriteriet for alternerende rekker,) følger

\lim_{x \to 1^-} f(x) = \log 2 = \sum_{n \geq 1} \frac{(-1)^{n+1}}{n}.


La g(x)= \sum_{n \geq 0} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} = \arctan (x). Igjen følger det av konvergenskriteriet for alternerende rekker, at \sum_{n \geq 0} \frac{(-1)^n}{2n+1} konvergerer, og at

\lim_{x \to 1^-} g(x) = \arctan (1) = \frac{\pi}{4} = \sum_{n \geq 0} \frac{(-1)^n}{2n+1}.

Anvendelsesområder[rediger | rediger kilde]

Anvendelsen av Abels teorem er knyttet til at den muliggjør å finne grensen til en potensrekke mens dets argument (dvs. z) nærmer seg 1 nedenfra, selv i tilfeller der konvergens radius R, for potensrekke er lik 1 og man ikke kan fastslå om grensen burde være endelig eller ikke. Se for eksempel binomialrekkene.

Ga(z) kalles den genererende funksjon for sekvensen a. Abels teorem er ofte nyttig ved generering av funksjoner med sekvenser av reelle ikke-negative verdier, som sannsynlighetsgenererende funksjoner. Den er særlig nyttig i teorien om Galton-Watson prosesser.

Beslektede konsepter[rediger | rediger kilde]

Konverse teoremer til et som Abels kalles Tauberiske teoremer: det finnes ingen nøyaktig konvers, kun resultater som betinger en hypotese. Fagområdet divergerende rekker og deres summasjonsmetoder inneholder mange teoremer av abelsk type og av tauberisk type.

Eksterne lenker[rediger | rediger kilde]