σ-algebra

En familie $\mathcal{A}$ av delmengder av mengden $X$ kalles en sigma-algebra dersom

1. $\emptyset$ og $X$ er med i $\mathcal{A}$
   
2. Hvis $A$ er med i $\mathcal{A}$ så er komplementet $A^{c}=X \setminus A$ også være med i $\mathcal{A}$
   
3. Hvis $(A_n)_{n=1}^{\infty}$ er en samling av mengder i $\mathcal{A}$ er også unionen $\cup_{n=1}^{\infty} A_n$ med i $\mathcal{A}$
   

Egenskap 1 følger fort fra de to andre: Tar vi en vilkårlig mengde $A$ i $\mathcal{A}$ har vi at komplementet $A^c$ er i $\mathcal{A}$ ved egenskap 2, og ved egenskap 3 får vi at da må unionen $A \cup A^c = X$ og dens komplement $\emptyset$ være i $\mathcal{A}$.

Eksempel

Den enkleste $\sigma$-algebraen på en gitt mengde $X$ er den trivielle: $\mathcal{A}=\{\emptyset, X, A, A^c\}$, for en delmengde $A$ av $X$. Går vi til den andre enden av skalen er den største $\sigma$-algebraen på en gitt mengde samlingen av alle delmengder av $X$, $\mathcal{P}(X)$.

La $X={1,2,3,4,5,....}$ være mengden $\mathbb{N}$ av alle naturlige tall, og la familien $\mathcal{A}$ bestå av de 4 delmengdene $\emptyset$, ${1,3,5,....}$ (alle oddetall) ${2,4,6,...}$ (alle partall) samt $X$ selv. $\mathcal{A}$ er da en sigma-algebra.

En svært viktig $\sigma$-algebra er Borel $\sigma$-algebraen. Denne definerer vi som $\sigma$-algebraen generert av alle de åpne mengdene på en mengde $X$. Dersom vi betrakter de reelle tallene vil da de åpne mengdene være åpne intervaller, og dermed kan vi skrive $\mathcal{B}=\sigma((a,b))$. Ved egenskapene 2 og 3 kan vi vise at også de lukkede mengdene, de halvåpne mengdene og åpne og lukkede stråler genererer Borel $\sigma$-algebraen. Igjen for de reelle tallene får vi da at Borel $\sigma$-algebraen også er generert av $[a,b]$,$[a,b)$,$(a,\infty)$ og $[a,\infty)$.

Referanser

Bartle, Robert G: The Elements og Integration and Lebesque Measure. Wiley Classics Library